4. 方向算符
下面利用引入方向算符，对轨道角动量进行研究。算符运算最大的好处是不取任何具体表象，是利用算符之间的对易关系进行运算，为了方便运算我们引入了方向算符[10]
， (31)
其中方向算符满足
令 ，
则有 (33)
4.1 方向算符和轨道角动量关系
根据公式
(34)
可以推出方向算符 和轨道角动量 的对易关系
同理有
又有
4.2 方向算符对球谐函数的作用
我们看到方向算符对轨道角动量的本征矢量的作用，首先取以下列两式[11]
两边作用在 上可得(42)
由此可见 (43)
同样，我们考虑 可以得到
由此可以解得：
5. 轨道角动量升降算符
5.1 轨道角动量升降算符的对易关系
设 是球谐函数中轨道角动量量子数 改变1，而磁量子数 保持不变的升降算符，则根据量子力学中的原理要满足 和 对易，即具有共同的本征函数。 和 不对易且满足 ，即作用于球谐函数上有如下的关系
(50)
利用(21)式则有
(51)
假设 中的数为 则应使 即应满足 ，如果假设 中的数满足 则应满足 可以推出 ，则对于上升算符 应该满足 和 对易，而 和 不对易且满足 ，本文来自优%文~论.文!网，
毕业论文 www.youerw.com 加7位QQ324~9114找原文而下降算符 应该也满足 和 对易， 和 不对易，且有 又知道方向算符 和 及 的对易关系
(52)
(53)
又因为
若取方向矢量，则有
， (54)
这两个算符即为喀兴林教授提出的升降算符。
同样可以证明
(55)
(56)
对于算符 和 在 轴上分量 和 则有
, (57)
由上面式子可知 和 为球谐函数的上升和下降算符，它们是作用在球谐函数上保持磁量子数 不变而使得轨道角动量量子数增加1或减小1的算符，通过定义(29)式的算符，它们与 的对易关系分别于 和 相同，即满足
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