相应的本征值为 ，如此类推，从 的本征态出发，逐次用 运算，可以得出 的一系列本征态即为
， ， ，...
相应的本征值为
， ， ，...
同样的由 可知 ,令 ， 是归一化常数，由归一化条件 可知 ， 取正实数后可以得到
(10)
同理可知
(11)
由 ， 可以求出 的归一化本征态为
(12)
依次可以类推出
(13)
这个就是由最低态量子数表示的归一化本征态。
2. 坐标和动量的升降算符
2.1 坐标和动量算符的讨论
由量子力学基本原理三可知,可以用动量 构造一个升算符 ，其中 是一个实数，由于 是一个幺正算符，其伴算符为
(14)
和 的对易关系是
(15)
则上式可化为 ,将此式作用到 上，得
(16)
由此可知，若 是 的本征矢量，本文来自优%文~论.文!网，
毕业论文 www.youerw.com 加7位QQ324~9114找原文则 也是本征矢量，如果 是 的一个本征值，则 也是其本征值。由 的一个本征值矢量 被算符 作用后，可得出另一个本征矢量，其本征值为 。对于 ，由于 的幺正性， 也是归一化的。我们称 为作用于位置本征矢量上的上升算符。我们将 作用于本征态 则有
(17)
由于 则有
(18)
由此可见 是右矢 的下降算符，因此有了 和 就可以从任何一个本征矢量出发，求出位置算符的全部本征矢量。
同理对于动量 也可以作类似的讨论，引入算符 , ,其中式中 为实数，则有
， ， ， (19)
由此知道动量算符 本征矢量也可以由一个本征矢量出发，用上升算符 和下降算符 全部构造出来
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