3. 磁量子数的升降算符
3.1 角动量的定义
自从1986年Thomson发现电子以后，在1911年E. Rutherford根据 粒子对电子出现的大角度偏转现象提出了Rutherford模型，然后丹麦年轻的物理学家N. Bohr提出了量子论，人们对于光谱规律的认识更加深入。为了解释光谱中面对的矛盾引入了电子自旋的概念，在非相对论的量子力学中，角动量的定义为 = 。角动量在量子力学中可定义为：
(20)
分量形式：
， ， (21)
这个定义包含了电子自旋，其中自旋是一种相对论效应，并不是经典力学体系简单的机械的自转，电子自旋是电子本身的内禀属性。
3.2 磁量子数和轨道角动量量子数的关系
电子角动量在三文空间中分为两个量子数，一个是磁量子数 ，另一个是轨道角动量量子数。我们知道在 构成的力学量完全集中，对于给定 ，本文来自优%文~论.文!网，
毕业论文 www.youerw.com 加7位QQ324~9114找原文 的本征函数是简并的并有(2 +1)个简并态，为了区分各个简并态我们用 来表示。因此有如下公式：
(22)
(23)
引入上升和下降算符：
(24)
则有
(25)
与 ， 的对易关系为
(26)
(27)
(26)式作用于 可知：
(28)
(29)
其中 的取值范围为 ， ，因此 也是 和 的共同本征函数。 和 作用在 的本征函数下，由(25)式可 的本征值不变，知而 的本征值上升或下降1，算符 是磁量子数 的升降算符，也称为阶梯算符。
算符 使我们能够用 和 的本征函数表示 ， 的所有本征函数[9] ,那么这里就有了一个问题：那就是为什么没有轨道角动量量子数 的升降算符呢？通过翻阅资料可以发现，最早给出这个问题的答案是喀兴林教授，他给出了角动量量子数的升降算符 和 。利用下面公式
， (30)
可以使轨道角动量量子数 有升降的作用，在研究轨道角动量升降算符时，先引入方向算符。
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