引言
从1900年创立量子论到现在，量子力学已经过了一百多年的时间，取得了巨大的成就[1]。量子力学大体上可以分为旧量子论、量子力学的创立和量子力学的完善时期。在旧量子论时期，Planck提出的能量子假说解释了黑体辐射现象，他揭示了微观粒子的量子化特性[2]。Einstein利用光量子假说成功解释了光电效应，人们在光的波粒二象性的启示下，开始认识到微观粒子的波粒二象性，才开辟了建立量子力学的途径[3]，以及Bohr的氢原子模型假说解释了巴尔末氢光谱。这些旧量子力学时期的假说为量子力学的形成和完善奠定了基础。1913年至1926年是量子力学的创立时期。在这个时期的量子力学分为两个方向。一个是Heisenberg、Born根据量子化条件创立了矩阵力学，而Heisenberg等人创立矩阵力学时，引入了力学量算符。另一个是de Broglie、Schrödinger提出的波动力学。而由于Schrödinger又找到了波动力学和矩阵力学等价性原理，标志着量子力学真正的完善了起来。
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毕业论文 www.youerw.com 加7位QQ324~9114找原文“符号法...在将来当它变得更为人们所了解，而且它本身的数学得到发展之时，它将更多地被人们采用”[4]。算符代表对波函数的一种运算，是量子力学的基本元素[5]。并且Dirac在此基础上创立了Dirac算符，从而使量子力学更加完善。由于在量子力学的算符中，可以利用算符较好地反应整体特性，我们可以从波函数里提取力学性质，从而把理论计算和实验结合起来[6]。并且可以运用升降算符可以很方便地研究算符的本征问题,简化数学计算,突出物理图像[7]，因此量子力学升降算符可以非常简便的处理冗长繁杂的数学运算，从而更加深刻的理解量子力学中的思想。
本文主要介绍量子力学中升降算符的产生及其基本性质，计算出球谐函数的最低本征态，并推出任意球谐函数。对角动量量子数升降算符存在的问题进行探讨，并进一步推导出其完善形式。
1. 简谐振子的升降算符
一文谐振子是量子力学原理应用的典型例子，并且在历史上，普朗克发明量子论时，也是从引入谐振子分离能级入手的[8]。我们先来讨论一下谐振子的升降算符。
1.1 量子力学的哈密顿算符
在量子力学中的哈密顿算符为
(1)
引入算符
， (2)
又由量子力学坐标和动量的对易关系 (3)
可证
则有 (4)
由 可知 ，即说明 也 的本征态,在此过程中利用了下式
(5)
利用(5)式可知 (6)
引入厄密算符 (7)
即： (8)
由于 和 有简单的线性关系，它们必可同时对角化。记 的一个本征值为 的本征态 为:
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