证明 设  在 内有界，即 ,取定 由拉格朗日中值定理知,在 与 之间存在 ，

使得 ，而 ，

 故 ，此与已知 无界相矛盾，故 无界.

3.3  函数的连续性问题

    例3 函数 在区间 上一致连续的充要条件是： ，当 时，有 .

    证明 必要性：因为 一致连续，故 当 时，有

 .

在已知 时，对于 ， 自然数， , 必有 ，因而 .

    充分性：设 在 上不一致连续，则有