摘 要：本文给出了几种矩阵可逆的判别方法，其中包括特征值判别法，初等变换法等，并且对每种方法都给出了严格的证明以及相应的例题。

毕业论文关键词：可逆矩阵 ；初等变换；特征值92618

Abstract： In this paper, we show some  methods for judging invertible matrix, including eigenvalue criterion, elementary transformation and ect。, and give a rigorous proof of each method and the corresponding examples。

Keywords：invertible matrix; elementary transformation; eigenvalue criterion

目录

1  引言 4

2  预备知识 4

3  矩阵可逆的若干判别方法 5

3。1  定义判别法 5

3。2  行列式判别法 5

3。3  秩判别法 6

3。4  初等变换判别法 6

3。5  伴随矩阵判别法 8

3。6  特征值判别法 9

3。7  四种特殊矩阵的可逆性 9

结论 13

参 考 文 献 14

致 谢 15

1  引言

矩阵是代数学的一个主要研究对象以及研究理论的工具，解决数学中的诸多理论问题也都需要用到矩阵理论。 就像数的四则运算中的除法一样，矩阵的运算中也有“除法”，由此引申出可逆矩阵。 因此研究可逆矩阵的判别条件在完善矩阵理论体系的过程中起了很重要的作用。

本文根据所学的专业知识以及相关文献，总结了七种常用的矩阵可逆的判别方法。

2  预备知识来自优O尔P论R文T网WWw.YoueRw.com 加QQ7520`18766

定义1[1]  假设 是数域 上的 级方阵，如果存在数域 上的 级方阵 使得 ，其中 是 级单位矩阵，则称矩阵 是数域 上的可逆矩阵，矩阵 称为矩阵 的逆矩阵，通常我们将矩阵 的逆矩阵记为 。

注1  下文中的矩阵如不加说明，均指数域 上的可逆矩阵； 如不加说明，表示大于1的正整数。

注 2  对于 级方阵 ，如果存在 级方阵 使得 ，即可保证 是可逆矩阵。 下面证明此结论。

证明  根据可逆矩阵的定义，要证明 是可逆矩阵，我们只须证明 即可。由 可知 ，并且 ，即  。由于 ，故由 法则可知齐次线性方程组 只有零解。 因此 ，即  。  因此根据可逆矩阵的定义可得 是可逆矩阵。

定义2[2]  以 表示 中元素 的代数余子式，设 ，我们将矩阵 称为矩阵 的伴随矩阵，容易验证 。

定义3[3]  如果 级方阵 满足条件 ， ，则称 为严格对角占优阵。

定义4[4]  矩阵有三类初等行变换

（1）将矩阵的某两行互换；

（2）用数域 上的某个非零数乘以矩阵的某一行；

（3）某一行加上另外一行的倍数。

矩阵的初等列变换与初等行变换完全类似，只需把“行”换成“列”即可。

性质1[5]   

证明  由可逆矩阵的定义可知 ，因此再次根据可逆矩阵的性质即可得到结论 。

性质2[5]   

证明  注意到 ，类似地，我们也可以得出结论 ，因此根据可逆矩阵的定义即可得证。 浅析矩阵可逆的若干判别方法:http://www.youerw.com/shuxue/lunwen_200314.html