(2.6)
2.Riemann-Liouville分数阶微分定义
                                        (2.7)
其中n-1<α<n，n为整数， ，Γ(.)为Gamma函数。
利用公式(2.4)可以推导出Riemann-Liouville分数阶微分定义。在m阶积分
的基础上，作n阶微分（m为非整数，n为整数，n>m）得到n-m=α阶微分。
                        (2.8)
2.1.3  Caputo定义
1.Caputo分数阶积分定义
与Riemann-Liouville分数阶积分定义相同，见公式(2.4)。
2. Caputo分数阶微分定义
                                         (2.9)
其中n-1<α<n，n为整数， ，Γ(.)为Gamma函数。
与Riemann-Liouville定义相比Caputo定义的分数阶微分主要有两个优点：
(1)在计算分数阶微分时，利用Caputo定义，可以直接将初始条件，如 ,  带入到式(2.9)中，然而利用Riemann-Liouville定义，却不能直接带入式(2.8)中。
(2)Caputo定义的分数阶微分对于常数的微分是有界的，等于0，而Riemann-Liouville定义的分数阶微分在 时，对于常数的微分是无界限的，除非 是起始点它对常数的微分才为0，然而对于暂态过程分析，不可能将起始点设为 ，在这种情况下，采用Caputo定义更合适。
2.2 分数阶微积分的性质
根据上述的分数阶微积分定义，可以得到分数阶微积分的主要性质如下：
1．分数阶微分的记忆性质
从分数阶微分的定义式(2.1)(2.7)(2.9)可以看出，函数f(t)在某点上的分数阶微分与整数阶微分不同，分数阶微分不是在该点处求极限，而是与初始时刻到该点以前的所有时刻的函数值有关，所以它具有记忆性。
2．分数阶微积分的线性性质
                                （2.10）
3．分数阶微积分的叠加性质
                                  （2.11）
4．当f(t)是t解析函数时， 是t和α的解析函数。
5. 当α=n，n为整数时，分数阶微分与整数阶完全一致，且
                                                        （2.12）
2.3．分数阶微积分的Laplace变换
2.3.1 Laplace变换的定义与性质
函数f(t)的Laplace变换是复变量s的函数F(s)：
                                               (2.13) Matlab的分数阶控制系统仿真研究(4):http://www.youerw.com/zidonghua/lunwen_6464.html