使式（2.12）两边同时减去式（2.11）式得：
整理后得：
式（2.13）即PID位置式递推形式。如果令 ，则：
（式中 、 、 同式（2.13）中一样。）
因为 、 、 都可以事先求出，因此实际控制时，为了求出控制增量，我们只须得到  、 、 三个有限的偏差值就可以了。由于其控制输出对应执行机构位置的增量，所以，式(2.14)通常被称为PID控制的增量式算式。
2.5    PID控制器的优缺点分析
2.5.1    PID控制器的优点
（1）    适应各种控制对象，具有较强的适应性。
（2）    对大多数被控对象在参数整定合适的情况下可以实现无差控制，而且稳态性   能好。
（3）    算法简单、鲁棒性好和可靠性高。
2.5.2    PID控制器的缺点
（1）    当系统参数发生改变时，其控制效果会有很大影响，会导致系统的不稳定。
（2）    相对于良好的稳态性能，其动态特性不太理想。
（3）    其没有对参数改变的自适应能力，对于非线性、时变系统控制效果不理想。
2.6    PID控制器与模糊控制结合的改进策略
针对上述常规PID控制器的优缺点分析可以看到，现代复杂的工况以及较高的控制要求常规PID控制已很难较好的实现。然而，现代工业控制技术的飞速发展已经诞生出了许多围绕PID控制器而进行的改进策略。比如，比如模糊控制技术与常规PID控制相结合构成模糊PID控制；神经网络技术加入常规PID控制构成神经PID控制等。
因此，接下来本课题将介绍让模糊控制技术融入常规PID控制器中构成模糊PID控制器的实现情况。利用模糊逻辑算法并根据一定的模糊规则对PID控制的比例Kp、积分Ki、微分Kd系数进行实时优化,以达到较为理想的控制效果。
3    基于模糊控制的PID控制器设计
3.1    模糊控制
3.1.1    模糊控制系统的基本思想
在实际控制系统中，我们发现，有些有经验的操作人员，虽然不懂被控对象或者被控过程的数学模型，也不懂自动控制的基本原理，却能凭借经验采取相应的决策，很好的完成控制工作，如图3.1是典型的人机控制系统框图。
 
     图3.1 典型人机控制系统框图
在这个系统中，这些信息数据进入人们的大脑后，在脑中形成一些具有模糊的概念，然后人们根据自己以往的经验，进行模糊决策。显然，这种人机控制系统进行的控制是一种模糊控制，人们为了模拟这种控制过程，设计了一种以模糊数学为基础的控制系统。
因此，模糊控制是根据人类的模糊性思文上所建立起来的控制方式。像人类模糊性思文一样，模糊逻辑控制技术接收到不完全精确的信息，通过经验来进行推理工作。然后，它不要用数学公式来表示状态而是通过模糊控制规则对被控对象进行控制。由于模糊控制规则一般是根据长期以来的经验所得出的，所以模糊控制技术的思想就是利用计算机来实现人的控制经验[9]。
3.1.2    模糊控制系统的组成
模糊控制系统利用计算机控制技术，由模糊逻辑、模糊语言形式的知识表示和模糊数学为理论基础组成。模糊控制系统的核心是智能性的模糊控制器，模糊控制器的结构决定一个模糊控制系统性能的优劣 [9]。模糊控制系统组成原理框图如图3.2所示。
 
图3.2 模糊控制系统组成原理框图
模糊控制系统是由模糊控制器、被控对象、检测装置、过程输入输出通道、执行机构等几部分组成。过程输入输出通道一般指模/数(A/D)、数/模(D/A)转换单元和接口部件，电平转换装置及多路开关等。被控对象的数学模型可以是己知的、精确的，也可以是未知的、模糊的。模糊控制器抗干扰能力强，响应速度快，并对系统参数的变化有较强的鲁棒性。 PLC的锅炉温度模糊PID控制设计仿真+文献综述(8):http://www.youerw.com/zidonghua/lunwen_4099.html