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用微积分理论证明不等式方法(2)

时间:2020-11-04 14:28来源:毕业论文
证明:观察不等式特征,可将原不等式变形为 ,记 ,由于 ,故 ,所以只要证明当 时, 即 成立即可. 令 ,则 由 , , 知 在 单调增加 当 时, ,于是 在 单

证明:观察不等式特征,可将原不等式变形为   ,记 ,由于 ,故 ,所以只要证明当 时, 即 成立即可.

 令 ,则 

 由 , , 知

 在 单调增加

当 时, ,于是 在 单调增加,故 ,

即当 时, 

当 时, ,要使不等式成立,则要使 在 恒成立,然而此时 在 单调增加, ,因此得出矛盾,此时不等式不成立

综上所述:当 时, 成立;当当 时, 不成立.

2.2  函数的极值与最值证明不等式

函数的极值 :在数学中,极大值与极小值(又被称为极值)是指在一个域上函数取得最大值(或最小值)的点的函数值。而使函数取得极值的点(的横坐标)被称作极值点。这个域既可以是一个邻域,又可以是整个函数域(这时极值称为最值).

极值的第一充分条件 :设 在点 连续,在 内可导,(i) 若当 时, ,当 时, ,则 在 取得极小值.(ii)若当 时, ,当 时, ,则 在 取得极大值.

极值的第二充分条件 :设 在的某领域 内一阶可导,在 处二阶可导,且 , .(i)若 ,则 在 取得极大值;(ii)若 ,则 在 取得极小值.

极值的第三充分条件 :设 在的某领域内存在直到 阶导函数,在 处 阶可导,且 ( ), ,则(i)当 为偶数时, 在 取得极值,且当 时取极大值, 时取极小值.(ii)当 为奇数时, 在 不取极值.

用微积分理论证明不等式方法(2):http://www.youerw.com/shuxue/lunwen_64168.html
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