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酉矩阵的若干特征及其应用

时间:2020-11-06 10:58来源:毕业论文
酉矩阵在信息论、组合数学、辛几何等众多学科领域有十分广泛的应用. 本文探讨了酉矩阵的若干性质及其应用,得到了关于酉矩阵的若干结果

摘 要:酉矩阵在信息论、组合数学、辛几何等众多学科领域有十分广泛的应用. 本文探讨了酉矩阵的若干性质及其应用,得到了关于酉矩阵的若干结果. 

毕业论文关键词:矩阵,酉矩阵,正交矩阵,矩阵分解59192

Abstract:Unitary matrix has very wide range of applications in a wide variety of subjects such as information theory, combinatorial mathematics and symplectic geometry. In this paper,we discuss the application of the unitary matrix and several properties, and get a number of results of unitary matrix.

Keywords:Matrix,Unitary Matrix,orthogonal matrix,matrix decomposition

1 前言 4

2 酉矩阵的若干定义 4

3 酉矩阵的若干定理 4

4 酉矩阵在矩阵分解中的应用 7

结论 9

参考文献 10

1  引言

酉矩阵是正交矩阵在复数域上的推广,而正交矩阵在欧氏空间上有着许多重要的性质,为高等数学的证明和计算带来了很多便利,因此推广酉矩阵在复数领域上的性质也很重要. 本文主要介绍酉矩阵的若干定义、性质和定理,并就定理做出证明.

2  酉矩阵的若干定义

定义1[1] 在复数域中,若 阶方阵 满足 ,则称矩阵 为酉矩阵.

定义2[1] 在复数域中,若 阶方阵 满足 ,则称矩阵 为酉矩阵.

定义3[1] 在复数域中,若 阶方阵 满足 ,则称矩阵 为酉矩阵.

注: 是矩阵 的共轭转置,即 .

定义4[1] 在复数域中,若 阶方阵 的 个行(列)向量是两两正交的单位向量,则称矩阵 为酉矩阵.

3  酉矩阵的若干定理

定理1[1] 设矩阵 是酉矩阵,则其行列式的模为 ,即 ,其中 为矩阵 的行列式.

证明:因为矩阵 是酉矩阵,所以 . 所以有:

注: 是矩阵 的共轭矩阵. 源[自*优尔^`论\文"网·www.youerw.com/

定理2[1] 设矩阵 是酉矩阵,则 , , 也是酉矩阵.

证明:因为 是酉矩阵,所以有:  .所以,矩阵 是酉矩阵. 因为 是酉矩阵,所以有:  . 所以,矩阵 是酉矩阵. 因为 是酉矩阵,所以有: . 所以,矩阵 是酉矩阵.

    定理3[1] 若 是酉矩阵,则 也是酉矩阵.

        注: 是 的伴随矩阵.[4]

证明:因为 ,所以有:        .

由定理1可知 ,故 . 所以 是酉矩阵.

定理4[1] 若 是酉矩阵,则 也是酉矩阵.

证明:因为 是酉矩阵,所以有:         .

所以 是酉矩阵. 同理可证 也是酉矩阵.

推论1 若 是酉矩阵,则 也是酉矩阵.( 为正整数)

推论2 若 是酉矩阵,则: .

也是酉矩阵.

推论3 若 是酉矩阵,则 也是酉矩阵.

推论4 若 是酉矩阵,则 也是酉矩阵.  .

定理5[2] 若矩阵 是二阶矩阵,则 是酉矩阵的充分必要条件是 满足下列三种形式

酉矩阵的若干特征及其应用:http://www.youerw.com/shuxue/lunwen_64384.html
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