余项r_n (x)满足

r_n (x)=1/n! f^(n+1) (x_0+ξ(x-x_0 )) (1-ξ)^n (x-x_0 )^(n+1)，ξ在x和x_0之间

余项r_n (x)称为泰勒公式的柯西型余项。

特别地，当x_0=0时，又有r_n (x)=1/n! f^(n+1) (ξx) (1-ξ)^n x^(n+1)，ξ在x和x_0之间。

1。3 函数在x=0处的泰勒公式（麦克劳林公式）

在一般情况下，我们进行泰勒展开时，或选择带有拉格朗日余项的，或选择带有佩亚诺余项的。 在条件符合下，还可以采用特殊的泰勒公式——麦克劳林公式。

f(x)=f(0)+f^' (0)(x)+(f^'' (0))/2! (x)^2+(f^''' (0))/3! (x)^3+⋯+(f^((n) ) (0))/n! (x)^n+r_n (x)，

其中：r_n (x)=(f^((n+1) ) (ξx))/(n+1)! (x)^(n+1)，ξ在x和x_0之间。

1。4 常见的基本初等函数在x=0处的泰勒公式

一般地，常见的基本初等函数：指数函数、三角函数等，我们将其泰勒展开时，往往会选择麦克劳林公式，并且是带有佩亚诺余项的。

当x→0时，几个常见的基本初等函数的泰勒展式如下所示：

e^x=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+⋯+x^n/n!+o(x^n )，

sin⁡x=x-x^3/3!+x^5/5!-⋯+(-1)^n  x^(2n+1)/(2n+1)!+o(x^(2n+1) )，

cos⁡x=1-x^2/2!+x^4/4!-⋯+(-1)^n  x^2n/(2n)!+o(x^2n )，

〖 ln〗⁡〖(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-⋯+(-1)^(n-1)  x^n/n〗+o(x^n )，

〖  (1+x)〗^α=(α¦0)+(α¦1)x+(α¦2) x^2+(α¦3) x^3+⋯+(α¦n) x^n+o(x^2n )，α为任意实数文献综述

上述几个式子是最基本的几个泰勒展开式，不仅因为这几个初等函数重要，而且其他的初等函数可以利用这几个式子通过四则运算、换元、求导、待定系数法等方法，得到其对应的泰勒公式，简单方便。

例1 求f(x)=3^x在x=0处的泰勒展式。

解  我们将3^x用以e作底数来表示，即3^x=e^(ln3)x。令u=(ln3)x，并对e^u使用1。4中的泰勒公式，得到如下泰勒展式：

3^x=1+(ln3)x+〖(ln3)^2 x〗^2/2!+〖(ln3)^3 x〗^3/3!+⋯+((ln3)^n x^n)/n!+o(x^n )

2 泰勒公式的几点应用

2。1  利用泰勒公式求极限

对于不定型的极限问题，我们往往采用洛必达法则来求得极限。 但是如果用洛必达法则求极限时，需要多次求导或者求导比较繁琐复杂，那么利用初等函数的泰勒展式，可能会使问题简单化。 利用泰勒公式求极限时，我们通常将分子分母展开成麦克劳林形式（一般展开到同一阶），再求得极限。