不解等式证明和求解的方法 第2页

 用单调极限证明不等式

要点 若 时， ↗（或严↗）,且 时  [以上条件今后简记作 ↗(或 严↗ )，当 时，则  (当 时) [或  (当 时)] 对于递减或严格递减，也有类似结论.利用这一原理可以证明一些不等式.

例 4证明： 时

.

证    当 或 时，不等式自明.只须证明 的情况.为此，只须证 ↗ 时， ↗ 即可.事实上：

（1）当 时，

)

(应用Lagrange公式)

       〔当 时, ,当 时，                                                    .〕

（2）

故 ↗ 时， ↗ .证毕

1.4  用函数的凸凹性证明不等式

设曲线 在区间 上处处有切线，若曲线上每一点都在切线的上方则称曲线在 上是凹的，若曲线上每一点都在切线的下方，则称曲线在 上是凸的.

在高等数学中常把曲线（函数图形）是凹的函数称为凸函数，而把曲线(函数图形)是的凸函数称为凹函数.

值得注意的是凸、凹函数的曲线(函数图形)的凹、凸性正好与凸函数、凹函数的凸、凹名称正好相反.

凸函数与凹函数也可如下定义：对 ，

若总有 ，则 在 内是凸函数；

若总有 ，则 在 内是凹函数；

常由函数 在区间 上的二阶导数 的符号，判定函数曲线的凸凹性：

若在该区间 上  (或 )，则曲线 在 上是凹的（或凸的）.

因而在 内，若 ，则函数 的图形在 内是凹的（如右图），位于区间[ ]中点 处弦的纵坐标不小于曲线的纵坐标，即有

                          （1）

其中 为 内任两点，等号仅在 时成立.

同样，若 ,则有

（等号仅在x 时成立）.      （2）

由上两式可知：若所证不等式为二元不等式，且其一（两）端为两点处的函数值的平均值或（和）为两点处中点的函数值，就可试用以上两式证之.

例5 证明  ( ).

证：所证不等式右端出现 、 两点处中点 的函数值 .因而可试用（1）证之.事实上将所证不等式两端除以2，变形为

显然左端为函数 在 、 两点处的函数值 .如能证 在(0, )上为凸函数，或其曲线是凹的，则所证不等式成立.

事实上 .由（1）式，得到

2.  用微分学证明不等式

2.1  用拉格朗日中值定理证明不等式

(拉格朗是中值定理) 若 函数满足下条件：

（1） 在闭区间 上连续；

（2） 在开区间 上可导；

则在 内至少存在一点 ，使得

所证不等式一边（单向不等式）或中间部分（双向不等式）为或可公为有限增量 的形式，则可用该定理证之，且证明构造的辅助函数就是 .将等式

右端进行适当放大或（和）缩小，去掉含 的项，即可得到所要证的不等式.这里的关键在于找到合适的函当选 与选取恰当的区间 .

此证法是证明区间上成立的函数不等式用得较多的方法，它既可证明具体函数不等式，也可证明抽象函数不等式.

用拉格朗日中值定理证明不等式的步骤:

(1)设辅助函数 ，并确定 施用拉格朗日中值定理的区间 ;

(2) 对 在 上施用拉格朗日中值定理;

(3) 利用 与 之关系,对拉格朗日公式进行加强不等式.

例6 证明当 时，

分析 注意到 ，可构造函数的改变量 ，则相应自变量的改变量为 ，所证不等式等价于

可考虑用拉格朗日中值定理证明.

证 令 ，易知 在 上可导，由拉格朗日中值定理，存在 使

.

由 及 可得

即                     

例7．证明： .

证：令 ,则 ,相当于 ,不等式可写成

.

令 .因 ，故问题在于证明

     ( 时).

用 乘之，问题化为证明

因 ,只须证明

  (当 时).

但 (当 时)，故此 .

2.2  用泰勒公式证明不等式

泰勒公式：若函数 在 上存在直至连续 阶连续导函数，在 内存在 阶导函数，则 至少存在一点 使得

当 时，该公式称为马克林公式，即：

.

由泰勒公式的结构知,一般在不等中出现高阶导数及其在某点的数值或已知函数的上、下界；或在某些点的函数值已知时，可考虑用泰勒公式证之.

确定用泰勒公式后，下一步是选择展开点.一般在出现函数值或导数值的点上展开，且展成比题中出现的导数最高阶数低一阶的泰勒展开式，然后利用题设中的高阶导数的大小或其界对展开式放缩，证明欲证的不等式.

例8．设当

证：由一阶泰勒公式，对于

               <

上式右端 当时达到了最大值4，故有

2.3  用柯西中值定理证明不等式

（柯西中值定理）若函数 和 满足下条件：

（1）       在 上连续；

（2）       在 可导；

（3）       和 不同时为零；

（4）       .

则存在一点 ，使得

所证不等式为（或可化为）形如

或              

的不等式，即为或可化为两不同类型函数的差值比，可试用柯西中值定理证之.

特别当 时，为证 ，只需证

.即证

例9   证明不等式

                      .

证    注意到 , ，因为 ，所证不等式可化为两不同类型函数的差值比的不等式

，即 .

于是令 .显然它们在 上满足柯西中值定理之条件，故存在 ，其中 ，使