不解等式证明和求解的方法

众所周知，不等式是数学中不可缺少的工具之一.有许多不等式在数学研究中有着重的作用,它对于不同类型的不等式,所运用的原理及方法也不一样.灵活、巧妙地选择证明方法可以让学生在证题中达到事半功倍的效果.本文主要是通过利用函数的性质、微分学、积分学的知识来探究不等式的证明方法，进而介绍了它们在不等式证明中的一些具体应用，如在构造函数的背景下运用函数的单调性、函数的极值和最值、微分中值定理、定积分，从而达到有效地解决不等式中的证明问题.此外本文还简单地介绍了证明不等式的其它方法，如用幂级数、二次三项式、一些著名的不等式.

1.  利用函数的性质证明不等式

1.1  用函数的单调性证明不等式

（1）函数的单调递增和单调递减

若当 时, （或当 时， ）则称函数 在闭区间 上单调递增(或单调递减),则当 时,  (或对应地当 , ).

（2）函数单调递增和单调递减的充分条件：若函数 在闭区间 上是连续的，并且在其是有正的（或负的）导函数 ，则函数 在 上单调递增（或单调递减）.

小结   此证法多用于证明具体函数的不等式，证法的步骤是：

（１）   作辅助函数 :一般取不等号两端的函数之差或之商为辅助函数;

（２）   求 的导数 ，并确定其在区间上的符号；

（３）   判定 单调递增还是单调递减；

（４）   求出 在两端点之一处的函数值或极值（一般必有一个端点函数值或极限值为零，或其符号确定）；

（５）   用单调性定义证明所需证明的不等式.

例1 证明不等式：当 时，

.
　　解：下用函数的单调性证之.为此先作变量代换，令 .于是归结证明：当 时，有 .

令 ，则 .下证 时有 .

因      　　

             ，

显然当 时，有 .因而 上的单调增加函数.而 ，故 时有 ,即

，亦即 时有 .

1.2  用极值证明不等式

定义：若函数 在点 的某领域 内对一切 有

则称函数在点 取得极大（小）值，极大值、极小值统称为极值.

(1) 用自由极值证明不等式

要点  若求得 在区域 上的最大、最小值分别等于 和 ，那么我们实际上获得了不等式   

   (当 ).

反之，要证明关于函数 、 的不等式

                              (当 ),

只须证明函数 在 上的最大值（或上确界） ），或 的最小值（或下确界） .

例2 求证 

               .

证    在区域 的边界上恒为0，而区域内部 .故 的最大值只能在内部达到.

.

         .

令 ，在 内求稳定点，得

                         即 ,                           （1）

及                       即 .                              （2）

这表明 在 内的最大值点应满足方程（1）、（2）.然而在（1）、（2）所确定的点上

.

所以 ,当 时.

    (2) 用条件极值证明不等式

要点  若求得 在条件 之下的最大值为 ，那么我们就获得了不等式

  (  ) .

例3求 时,函数 在球面 上的极大值.证明a、b、c为正实数时

.                                 (1)

解 设

令 ,解得x=r,y= r,z= r .

因为 在球面 位于第一卦限的部分上连续，在这部分的边界线上， 分别为0. 为负无穷大，故 的最大值只能在这部分内部达到.而( )是唯一的可疑点，所以 最大值 于是

                                 ,

故                     .

两边同时平方，并用 代入便得欲证的不等式.147

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