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正定矩阵的判定

时间:2021-03-14 22:22来源:毕业论文
矩阵是高等数学中一个重要的基本概念.本文主要归纳总结正定矩阵的定义、判定定理及其应用

摘  要:矩阵是高等数学中一个重要的基本概念.本文主要归纳总结正定矩阵的定义、判定定理及其应用.

毕业论文关 键 词:正定二次型,正定矩阵,实对称矩阵64300

Abstract:Matrix is an important basic concepts in higher mathematics. In this paper, we mainly introduced some properties of positive definite matrices and their applications.

Keywords:positive definite quadratic form ,positive definite matrix,real symmetric matrix

1 引言 …4

2 基本概念…4

3 主要结果…4

4 正定矩阵判定的应用7

结论13

参考文献 14

1引言 

正定矩阵的判定是高等代数中的一个重要知识点,所以正定矩阵的判定问题在矩阵问题占据着重要地位,关于正定矩阵判定的研究也就势在必行.为了开阔思路,更好的理解和掌握判定矩阵正定的方法,本文将关于正定矩阵判定的几种方法进行分析、归纳和总结,得到一些值得借鉴的适用于正定矩阵的判定方法.

2 基本概念

定义1[1] 实二次型 称为正定的,如果对于任意一组不全为零的实数 都有 .

定义2[2] 若实数域上的一个 元二次型 , 论文网

是正定二次型,其中 , ,则称 为正定矩阵.

    注 因为二次型的矩阵为对称矩阵,所以本文讨论的矩阵均为实对称矩阵.

定义3[2] 数域 上 矩阵 , 称为合同的,如果有数域 上可逆的 矩阵 ,使 .

定义4[6] 设 , 为 阶矩阵,有 阶非奇异矩阵 存在,使得 成立,则称矩阵 与矩阵 相似,记为 .

3 主要结果

    定理1[1] 实二次型 是正定的充分必要条件为矩阵 的顺序主子式全大于零. 

    定理2  设 为 阶实对称矩阵,则以下条件等价

(1) 为正定矩阵;

(2) , ,当且仅当 时等式成立;

(3)任意 , ,有 ;

(4)任意 阶可逆阵 , 正定;

(5)矩阵 的主子式大于零.

定理3 若矩阵 正定,则 的主对角线上元素均大于零.

证明 因为矩阵 正定,由定理2(5)知矩阵 的主子式均大于零.而矩阵 的主对角线上元素为矩阵 的一阶主子式,所以矩阵 的主对角线上元素均大于零.

定理4 矩阵 是正定矩阵当且仅当矩阵 可以通过使用向下行倍加变换化为上三角矩阵,且主角线上的元素全为正数.

证明 假设矩阵 为正定矩阵,令 ,由于矩阵 为正定矩阵,所以 .源[自[优尔``论`文]网·www.youerw.com/

当 时,设 ,则 可以经过初等变换得到 ,由于 为正定矩阵,所以

从而 .假设结论对 阶正定矩阵成立,则当矩阵 为 阶正定矩阵时,

从而由于结论对 成立,所以 ,因此 .故 可以通过使用向下行倍加变换化为上三角矩阵,且主对角线上的元素全为正数.

反之,若 可以仅通过向下行倍加初等变换化为等价的上三角形矩阵 ,令 ,且 ,设 , 分别为 , 的顺序主子式,显然向下行倍加变换不改变矩阵 的任何顺序主子式的值,那么有 成立.因为 ,所以 ,从而矩阵 为正定矩阵.

定理5  合同于 阶单位矩阵 ,则 为正定矩阵.

证明 若 合同于 ,则存在可逆矩阵 ,使得 

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