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Lebesgue积分的应用

时间:2019-08-25 15:27来源:毕业论文
利用 积分理论解决分析的问题,它比 积分更加方便,大大地开拓了我们的数学视野,提高了我们认识问题、解决问题的能力

摘要:本文利用 积分理论解决分析的问题,它比 积分更加方便,大大地开拓了我们的数学视野,提高了我们认识问题、解决问题的能力.
毕业论文关键词: 积分; 积分;可积
我们知道黎曼积分具有一定的局限性,用它处理有些问题显得不太方便,有时甚至解决不了问题.而勒贝格积分的适用范围更加广泛,它比黎曼积分更加深刻,它能使我们更加方便、灵活的处理问题,揭示问题的本质.40030
预备知识
1、    ( 定理)设 为可测集, 为 上的一列非负可测函数,当 时,对任一自然数 ,有 ,令 ,则
                                                     
2、    设 为可测集, 是 上的实函数.如果对于任意的 , 作为 的函数在 上 可积,对于 的 , 作为 的函数在 上可导且 ,这里 是 上某个非负 可积函数,则 作为 的函数在 上可导,则
                      
3、(逐项积分定理)设 为可测集, 为 上的一列非负可测函数,则
                      
4、(贝塞尔( )不等式)设 是内积空间 中的有限或可数规范正交系,那么对每个 ,成立不等式
                      .
5、设 是内积空间 中可数规范正交系,则对任何 ,
                      
6、(斯捷克洛夫定理)设 是希尔伯特空间 中规范正交系,若帕塞瓦尔等式在 的某个稠密子集 上成立,则 完全.
7、(可积的第三充要条件)函数 在 上可积的充要条件是:任给正数 、 ,总存在某一分割 ,使得属于 的所有小区间中,对应于振动 的那些小区间 的总长
例1    计算 ,1、      2、        3、
解 由 定理可知:1、 = .
                     2、 .
                     3、 .
方法二:由 定理知,对任意 ,存在子集 ,使  在 上一致收敛,且 ,故
   ,故
 .
      同理可得:  ,   .
例2    求 ,此处 ,
解:方法一  令 ,则
 , 作为 的函数在 上L可积, 作为 的函数在任何有限区间 上可导且
 , ,这里 是 上某个 可积函数,故
             
同理可得,     
方法二    令 ,因为 ,
 ,故 不是瑕点.
     ,   , .
 收敛,故 收敛
对任意给定的 ,因为 , 
所以 对 一致收敛,由 的任意性知
 
同理可知 .
(推广形式的可微性定理)设 与 在区域 上连续,若 在 上收敛,对任意给定的 , 在 上一致收敛,则 Lebesgue积分的应用:http://www.youerw.com/shuxue/lunwen_38260.html
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