小波变换及在图像压缩中的应用 第4页

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§2.3多分辨分析

关于多分辨分析，我们先给出一个三层分解的结构图如图2.3.1所示，其中A表示低频部分，D表示高频部分。若图片无法显示请联系QQ752018766

从图2.3.1的多分辨分析的树结构图中，可以看出，多分辨分析只是对低频空间进一步分解，使频率的分辨率变得越来越高。下面我们分析多分辨分析是如何构造正交小波基的。

定义3：设 为空间 中的闭子空间序列，如果满足下面优个条件，则称 为 的一个多分辨分析。

⑴ 单调性：

⑵ 逼近性：                                 (2.3.3)

则 称为多分辨分析 的一个尺度函数， 为 的规范正交基。

设 表示图2.1中分解的低频部分 ， 表示图2.1中分解的高频部分 ，则 是 在 中的正交补空间，即：

这样就把 分解为互相正交的子空间。这样形成的序列 具有以下两个性质：

① 平移不变性：若，则        （2.3.9）

由（2.3.9）式得

因此

                                        （2.3.10）

将（2.3.10）式作Fourier反变换得                  （2.3.11）

就是小波函数，构成 的标准正交基。

§2.4 双正交多分辨分析

在紧支撑正交小波基中，只有Haar小波的尺度函数具有对称性 。在实际应用比如图像处理中，人们需要尺度函数 (小波函数 )具有对称性、线性相位，双正交小波基具有这种优越的特性。

与正交多分辨分析不同的是，在双正交多分辨分析的框架下，尺度函数 与小波函数 关于时间平移参数都不是正交的。当函数 与 作时间平移与频率伸缩得到 与 时，双正交要求它们与其对应的对偶函数 与 满足下面的正交条件：若图片无法显示请联系QQ752018766

，                      （2.4.1）

上式也称为双正交条件。

定义4 若,是双正交的，其伸缩平移构成的空间：

各自形成空间的多分辨分析，则称这两个多分辨分析为由 和 生成的双正交多分辨分析。

在双正交的多分辨分析下，双尺度方程表示为

并且存在空间分解(但不是正交分解)

这里算子 表示直接和，是在空间的补(不是正交补)，即，且

。 是 在 空间的补。

同样      

于是形成两个多分辨空间的分解：于是对某个j，有                                       （2.4.2）

由双正交的定义可知，当n<j时，，此时， (n<j)，而

，所以.

所以这两个多分辨空间就像“拉链”一样相互正交：第一个小波空间垂直于第二个多分辨，而第二个的小波空间垂直于第一个多分辨空间，它们相互补充，最终实现完整的信号分解和重构。

式子（2.4.2）表明函数与，以及与彼此正交。因此，可以假设 ，

双正交小波的变换与正交小波的变换是一样的，不过此时有两对滤波器：()和()。我们可以选择其中一对(例如())进行小波变换，另外一对(例如())进行信号的重构，此时进行分解的滤波器称为分析滤波器，进行重构的滤波器称为综合滤波器。若图片无法显示请联系QQ752018766

对于中的任意子空间，有

＝…＝

因此， 中的任意函数 都存在如下多分辨表示：

＝…＝

其中，

表示 的低频成分，而 ，l = M, … , j-1表示 在不同分辨率下的高频成分。与正交多分辨分析表示类似，假设已知在 中的投影为 ，记为

，根据两尺度方程，有又根据双正交条件，可得到分解算法

                                （2.4.3）

重构算法为：

＝                                        （2.4.4）若图片无法显示请联系QQ752018766

§2.5图形显示算法及其实现

在信号分析中，许多情况下都需要提取弱信号，这在Fourier分析中根本不可能办到。例如，在机器故障监测与诊断中，当机器发生故障时，由于机器各零部件的结构不同，致使振动信号所包含不同零部件的故障频率分布在不同的频段范围内。如机器隐藏有某一零部件的早期微弱缺陷时，它的缺陷信息被其它零部件的运行振动信号和随机噪声所淹没。为了有效地提取弱故障信号，即提取某一弱信号，实现早期诊断，可用小波分析理论，对信号进行小波与小波包分解，把信号分解为各个频段的信号，再根据诊断的目的选取包含所需零部件故障信息的频段序列，进行深层信息处理以查找机器的故障源 。而小波变换中使用的Mallat塔式算法在分解过程中，随着分解层数的增大，数据点成倍减少，这样对信号的进一步分析带来不便 。[4]中首次提出的图形显示算法可以解决这一问题。本节分析了一文信号的实例，并推导了二文情形的图形显示算法。

1．图形显示算法

设 是一个给定的多分辨分析，为相应的尺度函数，待分析信号为，为信号经Mallat算法分解j层后的低频部分的图形， 为信号经Mallat算法分解j层后的高频部分的图形。对于固定的尺度j，低频部分表示为：根据两尺度关系，式(2.5.1)可化为： (2.5.2)

其中 称为小波系数，记做：，为低通滤波器。

因为，所以有：     (2.5.3)

则由(2.5.3)和(2.5.4)式得：

                                             (2.5.4)

这时                              (2.5.5)

同理，高频部分的作图类似于。

                                             (2.5.6)

事实上，由两尺度关系， 可表示为

，其中                         (2.5.7)

式中 为相应的低通滤波器。其它的由式(2.5.3)来计算。所以有下式成立：

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