小波变换及在图像压缩中的应用 第3页

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故 是一个基小波。

例3 Morlet实小波

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图1.1.1-1.1.3分别为Haar小波、Mexihat小波、Morlet小波的图形：

       图1.1.1: Haar                图1.1.2: Mexihat            图1.1.3: Morlet

例4 Morlet复值小波 -

例5 复高斯小波 例6 复香农小波 若图片无法显示请联系QQ752018766

  图1.1.4: 复Morlet小波实部              图1.1.5: 复Morlet小波虚部

1、  连续小波的构造

定理1 设 是一个基小波，且，那么对任意，有

也是一个基小波。

证明：（1）首先证明是 上的有界函数：

即存在一个正整数M，使得||<M。

（2）于是， 也是一个基小波。

例7 设 是Haar小波，g是具有紧支的连续函数，则 是一个基小波。

比如，很明显| |，此时(Haar小波为基小波)

因此， 为基小波。

引理1   是由尺度函数和多分辨分析生成的半正交小波，则（j, k Z）是的Riesz基。

引理2  设是可分Hilbert空间H中的一列向量，则下述命题等价：⑴ 是H的Riesz基；

⑵ 是H的框架，且是线性无关的。

定理2 由尺度函数生成的半正交小波是基小波。

证明：由引理1可知尺度函数成生的半正交小波得到的是 的Riesz基，而由引理2可知是上的框架。

即生成的一个框架，而框架一定满足二进小波的稳定性条件，那么它必定是一个二进小波 ，而一个二进小波必然是一个基小波。

这样，就证明了通过尺度函数和多分辨分析生成的小波是基小波。

推论 Meyer小波与Daubechies小波以及样条小波都是基小波。

因为Meyer小波和Daubechies小波都是由尺度函数和多分辨分析产生的正交小波，样条小波是半正交小波，因此根据定理2它们都是基小波。

2、  连续小波的重构及性质

连续小波变换的重构公式为：若图片无法显示请联系QQ752018766

具体证明参见文献[4]。

从连续小波的定义知道，任何信号 的连续小波变换 是一个关于 的二元函数，但是具体信号的连续小波变换的表达式一般说来是相当复杂的。下面介绍连续小波的重要性质：

⑴ 线性：一个多分量信号的小波变换等于各分量的小波变换之和。

⑵ 平移不变性：若的小波变换为，则的小波变换为⑶ 伸缩共变性：若的小波变换为，则的小波变换为⑷ 自相似性：对应不同尺度参数 和不同平移参数 ，连续小波变换之间是自相似的。

⑸ 冗余性：连续小波变换中存在信息表述的冗余度。这种冗余性主要表现在2个方面：

① 连续小波变换恢复原信号的重构公式不是唯一的。

② 小波变换的核函数 存在许多可能的选择，如他们可以是非正交的小波、正交小波、双正交小波、甚至允许是彼此线性相关。

小波变换在不同的 之间的相关性增加了分析和解释小波变换结果的困难，因此小波变换的冗余度应该尽可能的减小。

3、  具体信号的连续小波变换

例8设，基小波取为Harr小波 ，则时，信号连续小波变换。

仅从此例就可以体会到，在具体应用中，不同信号的连续小波变换是很复杂的，文献[11]给出了门函数、单边指数函数、阶跃函数等信号在给定小波基下的连续小波变换的表达式，并且做出了相应的三文图形。下面给出了两个具体信号的连续小波变换的图形。左边的信号除了明显的奇异点外均比较光滑，而右边的信号存在较多的奇异点，小波变换对奇异点是很敏感的。图1.1.6: 连续小波变换的例子，纵轴表示，横轴表示b。若图片无法显示请联系QQ752018766

一般计算连续小波变换都采用数值计算的方法：

设，取步长为，令，，则

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。

上式可以用快速卷积运算来完成。卷积运算可以在时域完成，也可以在频域里通过FFT来完成。

4、  连续小波的应用

小波分析的最初是在工程应用中发展起来的，是工程应用与数学结合的结晶。小波变换是一个时间和频率的局域变换，因而能有效地从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数和信号进行多尺度细化分析，解决了傅立叶变换不能解决的许多困难问题，被誉为“数学的显微镜” 。现在连续小波变换已经广泛地应用于时频联合分析、去噪、特征提取、地质勘探、涡流、力学等领域 。比如在去噪中，连续小波变换具有较大的冗余性，对于去噪和数据恢复是十分有利的 ，而冗余对图像压缩是不利的，图像压缩中需要的是无冗余的正交小波；小波对信号的奇异点十分敏感，对突变信号的分析非常有效，因而在故障检测和边缘检测中，连续小波是很有效的 ，文献[15]也表明连续小波变换具有比传统的二进小波更好的检测能力，非常适合于故障检测；而复小波能够提取有关相位信息，因而可以实现包络分析处理 ；后面介绍的离散小波变换的各个尺度的小波分量的系数就是信号在各尺度下的连续小波变换，因此，可以这样说，几乎所有小波分析的应用都与连续小波变换有关。若图片无法显示请联系QQ752018766

§2.2离散小波变换^[1]

在实际应用中，需要将连续小波离散化。这里的离散是指将连续小波 和连续小波变换若图片无法显示请联系QQ752018766离散化。在连续小波中，考虑函数  ， 是容许的，在离散化时，总限制 取正值，这样离散小波变换的容许条件就变为：若图片无法显示请联系QQ752018766

从而离散小波变换表示为：其重构公式为：为一与信号无关的常数。这样，我们将信号 分解为不同尺度与平移参数的小波分量之和。

如果 还有一个对偶，它们一起满足双正交条件则系数

是 的连续小波变换在第 尺度与第 平移处的值。所以，连续小波变换与离散小波变换是不可分离的。

实际应用中，通常用卷积形式的小波变换，对于函数，在尺度 上的卷积小波变换记为这时容易计算的连续小波变换的傅立叶变换。

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