证明 因为函数在点 处可以取得极值, 所以当固定在 后所得的函数即为一元函数,并且该函数可以在点取得极值,于是

,同理,综上可得。

定理1。6(多元函数极值充分条件)

设元函数在附近存在连续的二阶偏导数,并且为的稳定点。与二元函数极值存在的充分条件相似,现定义 在 点   处的黑塞矩阵为：

(1)当正定时,在点处可以取得极小值;

(2)当负定时,在点处可以取得极大值;

(3)当不定时,在点处不能取到极值。               

2。函数极值的不同的求法

2。1 对于一元函数的极值解法

对于二次函的图像是一条抛物线,从我们对抛物线在二维坐标系里的图像了解我们可以得出如下的分析：

当时,抛物线的开口是向上的,它从左到右纵坐标的值先是从大到小递减随后到达最低点后开始从小到大逐渐增加,而这个最低点就函数的极小值点,也就是取到极小值。

    当时,抛物线的开口是向下的,它从左到右纵坐标的值先是从小到大递增随后到达最高点后开始从大道小逐渐见笑,而这个最高点就是函数的极大值点,也就是取到极大值。

综上述,要想得到二次函数的极大值或者极小值只需要求得二次函数的顶点坐标即可,因此我们可以用配方的方法把改写成这样的形式,则可以看出函数的顶坐标就是。当时,这个坐标的纵坐标的值就是极小值;当时,这个坐标的纵坐标的值就是极大值。来,自.优;尔:论[文|网www.youerw.com +QQ752018766-

例2。1  某服装厂生产某种服装,每年的生产量为x百件,总的成本是万元,总的收入为求当获得最大利润时的产量是多少?

方法1  设为总利润,则为一元二次函数的形式,则根数上述的结论我们可以得到,即当利润取到最大值5万元时,产量为4百件。

 方法2   设为总利润,则

 解得又因为 由定理2。1。2可知函数在处取得唯一一个极大值,即总利润的最大值=5万元。