为随机变量 的数学期望,或称为该分布的数学期望，简称期望或均值．若级数 不收敛，则称 的数学期望不存在．
     定义2  设连续随机变量X的密度函数为 ,如果         ，
则称为 的数学期望．
    数学期望的性质:
性质1  若c是常数，则 ．
性质2  对任意常数a，有 ．
性质3  对任意的两个函数 和 ，有
性质4   性质5   ．
    定理1  若随机变量 的分布用分布列 或用密度函数 表示，则 的某一函数 的数学期望为
1.2  随机变量的方差与标准差
定义3  若随机变量 的数学期望 存在，则称偏差平方 的数学期望 为随机变量 的方差，记为 ．称方差的正平方根 为随机变量 的标准差，记为 ，或 ．
计算公式为    方差的性质:
性质1   ．
性质2  常数的方差为0，即 ，其中c是常数．
性质3  若a，b是常数，则 ．
性质4   ．
2  切比雪夫不等式的证明
定理2  设随机变量X的数学期望与方差都存在，则对任意的常数 ，有
证明  ①设X是一个连续随机变量，其密度函数为 ．记 ，我们有
    由此知 对连续随机变量成立，对于离散随机变量亦可类似进行证明．
②设X为离散型随机变量，其概率分布为 ，其中 ． 分别以 取得值 ．则事件 表示随机变量 取得所有满足不等式 的可能值 ，该事件的概率为
                    对离散型随机变量亦成立．
在概率论中，事件 称为大偏差，其概率 称为大偏差发生概率．切比雪夫不等式给出大偏差发生概率的上界，这个上界与方差成正比，方差愈大上界也愈大． 切比雪夫不等式的探讨+文献综述(2):http://www.youerw.com/shuxue/lunwen_9103.html