向量值函数微分学的应用(2)

我们用及等一系列的物理量和数学的表达方式来描述流体的状态。在不定常运动状态的情况下，它们均是关于时间及笛卡尔坐标位置的函数。接下来我们将其中的具体含义解释如下。

为速度向量。值得我们要注意的是，这里的速度向量表示的是流体微元的宏观运动速度，而并非用来表示没有规则运动速度极少数流体分子。这般，我们把经过，，所以在时间

(1。1)

我们把单位体积的流体的质量叫做是质量密度记作。则沿单位法向量的方向流经过在时间的区间内的流体质量可表示为

(1。2)

被我们称为质量流向量。则就是单位时间内沿着任何方向流过垂直于的单位面积的流体质量[3]。

我们把单位体积流体的动量又称之为动量密度向量。则

(1。3)

(1。3)是表示沿单位法向量的方向流经过且在时间的区间内的流体动量。

其中为速度向量的张量积[3]，即

按照一般的乘法意义，我们把矩阵与向量表达成，下面出现的也是如此，。

表示流体压强，即流体在单位面积上所受的压力，方向垂直于该面积，这是因为未考虑忽略了流体的内摩擦(粘性)因素的原因。我们在。上面我们所说的，意味着跟一开始就设定好的空间方向是没有关系的。通常的流体均能满足这一性质。由此，我们把面积微元由其单位法向量的正向一方而所受到的流体压力可表示为

(1。4)

其中负号表示是压力。

1。2 理想流体力学方程组

1。2。1 质量守恒定理

对于，是区域，是任意的闭曲面而且是光滑的。我们再根据质量守恒这一定律就可以推导出在这个区域中流体的质量从时间到时间这段时间内的增张量

(其中 )，与从时间到时间这段时间内经由闭曲面而进入中的流体的质量应该相等，可借助(1。2)式得到结果，后者可以表示为

。

如此，我们可以把质量守恒定律表示为以下的积分形式：

(1。9)

因为所要考察研究的函数是在连续可微的这一条件下，我们在利用格林公式，所以上面的式子就可以表示为

那么