峰度系数的探讨(2)

任何一元正态分布的峰度值都是 3。与正态分布的峰度值比较，通常称峰度少于 3 的

分布为低峰分布。这并不意味着这种分布是有时所认为的“平顶”。相反,它意味着该分布比正态分布产生的异常值更少。均匀分布是低峰态分布的一个特例，它不会产生异常值。峰度大于 3 的分布是尖峰分布。

2．2 峰度系数的定义

定义 1 3

峰度是四阶标准矩，定义为

其中， 4 是四阶中心矩，是标准差，我们常用表示峰度。

注早期，人们称3 的分布为尖峰分布，3 的分布为低峰态分布。目前，人们使用下述定义来解释峰度，即在上述定义的基础上减去 3。

定义 2 4文献综述

设随机变量 X 的前四阶矩存在，则

 4 3 

EX  EX 4

3

k 2 Var X 2 。

称为 X （或分布）的峰度系数，简称峰度。

注（1）峰度与峰值是不一样的。正态分布 N ,2 的  2 ，  34 ，按上述定

2 4

义，任一正态分布 N ,2 的峰度 

 0 。N ,2 的峰值 

21 与正态分布的标准差

成反比，越小，正态分布的峰值越高，而“峰度”则与无关。

（2）将随机变量 X 进行标准化处理，得到来*自-优=尔,论:文+网www.youerw.com

再在上述定义的基础上，分子分母同除以 X 4 ，得到新的峰度系数

其中 EX * 2  Var X *   1 ,U ~ N 0,1 ， EU 4   3

上式表明峰度 k 是以标准正态分布为基准确定其大小，即峰度 k 是 X 的标准化变量与标准正态变量的四阶原点矩之差。

0 表示标准化后的分布相较于标准正态分布，尖峰更显著并重尾；

0 表示标准化后的分布与标准正态分布相比，尖端平坦，均值附近衰减较慢；

0 表示标准化后的分布与标准正态分布在均值附近的峰值大小与均值附近衰减

程度相当。

（3）峰度是描述分布形状的统计量，它以正态分布为基准对其形状进行描述，正态分布的峰度为 0。在实际中的一个分布的峰度与偏度均为 0 或接近 0 时，常认为该分布为正态分布或近似正态分布。