ak1 , ak 2 ,, akr全为零，这与条件:存在不全为零的实数 ak1 , ak 2 ,, akr, bi1 ,, b，1 i s ,

且 k  i 矛盾，故而 bi1

，1  i  s ,且 k  i 不全为零；因此，我们可以得到 ak1

不全为零。于是，我们有

ak1tk1 ak 2tk 2 akr tkr

bi1ti1 bi 2ti 2 bir tir ,

k k i i

其中1 i s ,且 k i 。我们设齐次线性方程组 Ai X 0 的解空间为Vi (1 i s ),由

tk1 , tk 2 ,, tkr为方程组 Ak X 0 的基础解系，则 ak1tk1 ak 2tk 2 akr t 是方程组 Ak X 0

的非零解，并令a

k1tk1

 ak 2tk 2

a

kr tkr

，则有Vk

;同理可知

bi1ti1 bi 2ti 2 bir t是方程组 A X 0 的非零解，又

ak1tk1 ak 2tk 2 akr tkr

bi1ti1 bi 2ti 2 bir tir ,

k k i i

其中1 i s ,且 k i 。即 ak1tk1 ak 2tk 2 akr tkrVi ，所以Vi ,故而齐次线性方程组

k k

Ai X 0 与方程组 Ak X 0 （ k i ）有非零公共解。以此类推我们可以得到

V1V2 V3 Vs 。

综上，齐次线性方程组 A1 X 0 ， A2 X 0 ，……， As X 0 有非零公共解。

必要性 若齐次线性方程组 A1 X 0, A2 X 0,, As X 0 有非零公共解，不妨设为，

且0 ,，则存在不全为零的实数 ak1

, ak 2

,, a

krk 使得

ak1tk1 ak 2tk 2 akr tkr ;

k k

且存在不全为零的实数 bi1

,, bir

，其中1 i s ,且 k i ，使得

bi1ti1bi 2 ti 2bir tir ;

从而我们可得

于是 a 1t 1a 2t2a t

b 1t 1 b 2t 2 b t

0 ，即存在不全为零的实数向量组

同时，在各类代数书中我们还常见这样一个定理。

引理 2[3] n 元齐次线性方程组 A X 0, A X 0,, A X 0 有非零公共解的充要条件是

证明 充分性 若有秩

n ，则齐次线性方程组  

有非零解，不妨设为

,0 ，则有

A10, A20,, As0， 即齐次线性方程组 A1 X 0, A2 X 0,, As X 0 有非零公共解。

必要性 若齐次线性方程组 A1 X 0, A2 X 0,, As X 0 有非零公共解，则有

A10, A20,, As0 。

例 1 设四元齐次线性方程组（Ⅰ）为

且另一个四元齐次线性方程组的一个基础解系为

1 2,1, a  2,1 ,2 1,2,4, a  8 。

（1）求方程组（Ⅰ）的一个基础解系；

（2）当 a 为何值时，方程组（Ⅰ）与方程组（Ⅱ）有非零公共解？若有非零公共解，求 出全部非零公共解。 浅谈两个线性方程组的解(5):http://www.youerw.com/shuxue/lunwen_82659.html