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环的零因子的探讨+文献综述(2)

时间:2017-05-31 18:15来源:毕业论文
为环 上的一个 矩阵.当 时,称 为环 上的一个 阶方阵. 环 上的全体 阶方阵关于方阵的加法与乘法作成一个环.这个环用 表示,并称为环 上的 阶全阵环. 当


为环 上的一个 矩阵.当 时,称 为环 上的一个 阶方阵.
     环 上的全体 阶方阵关于方阵的加法与乘法作成一个环.这个环用 表示,并称为环 上的 阶全阵环.
     当环 有单位元时, 也有单位元,即
                         (1是环 的单位元).
     复数域 上 阶矩阵对矩阵的加法和乘法作成一个环,称为复数域 上的 阶全阵环,记为 .若 , 且 ,但 ,则称 分别为 的左零因子和右零因子,统称为 的零因子.一般情况下,可把求零因子转化成求矩阵方程 和 的非零解,其中未知矩阵 .
定义1.4  设 ,则
1)当 时,称 是 的左零因子;
2)当 时,称 是 的右零因子;
3)当 即是 的左零因子,又是 的右零因子时,称 是 的零因子.
显然, 阶零矩阵是所有 阶方阵的零因子.方阵 的零矩阵以外的零因(如果有的话),称为 的非零零因子.
另外,所有 阶方阵都是 的左(右)零因子  是零矩阵.  
    引理1.1 若 是 的左零因子,则 的列向量一定是 方程的解.
    证明 对 分块,令 ,  为 的第 列.由 ,得
                                 
即 ,  ,也即 为方程 的解.
    推论1.1 若 则 的列向量是方程 的解.
    定理1.1 设 ,若 是 的左零因子,则秩  秩  n.
    证明  令        ,
 为 的列向量.令 {方程 的全部解},由引理可得 ,根据替换定理可证明 的极大线性无关组所含向量的个数一定小于或等于 解空间中基础解析所含向量的个数,
所以            秩   秩 ,
即              秩 +秩  n.
2. 环的零因子的性质
2 .1 一般环的零因子的性质    
    数环以及数域上的多项式环,都无零因子.在无零因子的环中,关于乘法的消去律成立.
    定理2.1.1 在环 中,若 不是左零因子,则
若 不是右零因子,则    证 由 得                           
由于 且 不是左零因子,故
由于 不是右零因子且 ,故 .
如果对环 中任意元素 (1)成立,则称环 满足左消去律;若(2)成立,则称 满足右消去律.
推论2.1.1 若环 无左(或右)零因子,则消去律成立;反之,若 中有一个消去律成立,则 无左及右零因子,且另一个消去律也成立.
证  由于当 无左零因子时, 也无右零因子,故由定理2.1.1既得消去律成立.
反之,设在 中左消去律成立,且
 ,  即  ,
则 ,即 无左零因子,从而 也无右零因子,于是右消去律也成立.
推论2.1.2  有单位元1的环 中零因子不是可逆元,可逆元也不是零因子.
证明 设 是 的零因子,则存在 ,使得 (或 ).若 是可逆元,则 (或 ),即 ,这与 矛盾,故零因子不是可逆元.
设 是 的一个可逆元,假设在 中存在 ,使 .又 可逆,所以 ,同理可证 的情况,故 不是零因子.
推论2.1.3 设 是有单位元1的环, 是 中的右逆元的元素,则下面三个条件等价: 环的零因子的探讨+文献综述(2):http://www.youerw.com/shuxue/lunwen_8145.html
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