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逆向思维在高等数学中的应用(2)

时间:2017-05-23 19:39来源:毕业论文
1.预备知识 1.1 定积分的定义: 定义1 设闭区间 上有 个点,依次为 , 它们把 分成 个小区间 , .这些分点或这些闭子 区间构成对 的一个分割,记为 或


1.预备知识
1.1 定积分的定义:
     定义1  设闭区间 上有 个点,依次为
                   ,
它们把 分成 个小区间 , .这些分点或这些闭子
区间构成对 的一个分割,记为
                  或  .
小区间 的长度是  ,并记
                            ,
称为分割 的模.
      注   由于 , ,因此 可用来反映 被分割的
细密程度.另外,分割 一旦给出, 就随之而确定;但是,具有同一细度
 的分割 却有无限多个.
1.2  (罗尔(Rolle)中值定理)  若函数 满足如下条件:
(ⅰ) 在闭区间 上连续;
(ⅱ) 在开区间( )上可导;
(ⅲ) = ,
则在( )上至少存在一点 ,使得   =0.
     罗尔定理的几何意义是说:在每一点都可导的一段连续曲线上,如果曲线的两端点高度相等,则至少存在一条水平切线.
1.3  数列极限的 定义
定义  设 为数列, 为定数.若对任给的正数 ,总存在正整数 ,使得 时有
则称数列 收敛于 称为数列 的极限,并记作
下面举例说明如何根据 定义来验证数列极限.
1.4 无穷小量的定义和定理
定义 设 在某 上有定义,若                                .
则称 为当 时的无穷小量
定理3.12  设函数 在 上有定义,且有                                   .
 (ⅰ)若 ,则 ;
(ⅱ)若 ,则 .
证  (ⅰ)
(ⅱ)
1.5  有理函数的不定积分
有理函数是指由两个多项式函数的商所表示的函数,其一般形式为
              ,
其中 为非负整数, 与 都是常数,且 .若 ,则称它为真分式;若 ,则称它为假分式.
2.逆向思文在定积分中的应用
2.1 例如,利用定积分的定义求极限:
设 (x)在 上连续,且f(x)>0,求
解:利用定积分的定义
2.2 逆用定积分的定义求极限
   定积分是无限项和的极限:
逆向应用:无限项和的极限又可通过相应函数的定积分来计算.此方法是把求极限问题转化为某一函数在某一有限区间上的定积分. 此类题目的特点是:把无穷项和式的极限转化为某一函数 在区间 上的定积分,且把区间   等分, 中的 常取 的右端点 ,从而把无穷项和式的极限问题转化为求一个特定结构的和式极限. 逆向思维在高等数学中的应用(2):http://www.youerw.com/shuxue/lunwen_7663.html
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