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函数施瓦茨连续性及其性质(2)

时间:2021-05-02 08:58来源:毕业论文
, 则称函数 在点 处施瓦茨连续,简称为S连续,且称 为函数 的施瓦茨连续点.否则,就称 在点 处非施瓦茨连续, 称为函数 的非施瓦茨连续点,也称 为函

 ,

则称函数 在点 处施瓦茨连续,简称为S连续,且称 为函数 的施瓦茨连续点.否则,就称 在点 处非施瓦茨连续, 称为函数 的非施瓦茨连续点,也称 为函数 的施瓦茨间断点.

用 定义可以将 在点 处的施瓦茨连续性定义陈述如下

定义2.1'  对 , ,当 时,有

 .

注 由上述定义可以知道,判断函数 在点 处是否施瓦茨连续,并不对函数 在 处的取得的函数值有要求.

命题1  若 ,则 在 点施瓦茨连续.文献综述

证  已知 ,即

 ,

从而

 ,

 ,

 .

因此 在 点施瓦茨连续.

定理2.1  若函数 在点 处连续,则 在点 处施瓦茨连续.

证  设函数 在点 处连续.则有

                       ,                   (1)

                       ,                   (2)

将(1)与(2)合并可得

 ,

即函数 在点 处施瓦茨连续.

例1  设函数 ,证明 在 处施瓦茨连续.

证  令 ,

 ,

 ,

 .

同理, 时,

 ,

 ,

 .

 .

在华师大的《数学分析》[1]教材中,还有左连续和右连续的定义,那么,对于施瓦茨连续,我们也类似的进行如下定义.

定义2.2  设函数 在某 内有定义.若

 ( ),

则称 在点 施瓦茨右(左)连续.

根据上述定义2.2,再结合定义2.1,我们不难推出如下定理.

定理2.2  (1)函数 在点 施瓦茨连续的充要条件是: 在点 施瓦茨左连续.

(2)函数 在点 施瓦茨连续的充要条件是: 在点 施瓦茨右连续.

证  显然(1)必要性成立,故只需证明(1)充分性.

已知函数 在点 施瓦茨左连续,即来~自^优尔论+文.网www.youerw.com/

 .

现令 ,则有

 ,

 ,

因此

 ,

 在点 施瓦茨连续.

同理可证(2).

注 我们发现,传统连续定义中函数在某点连续要求函数在该点既左连续又右连续,而根据定理2.2我们知道,施瓦茨左连续、施瓦茨右连续和施瓦茨连续这三者是相互等价的.

2.2 函数在施瓦茨连续点处的局部性质

我们知道,当函数在一点存在的极限,反映出函数在该点附近的函数值的态势特征.因此,当函数在一点连续时,其态势就为该点的函数值所限定,于是就有了保号性和有界性两个性质.那么如果函数 在 处施瓦茨连续,那么 处是否还具有这两个性质呢?

由2.1的例1可知,函数 在 处施瓦茨连续,对任意 , 在 上是无界的,因此施瓦茨连续点并不具有有界性这一性质.

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