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特殊变系数微分方程的解法(2)

时间:2021-02-08 10:03来源:毕业论文
. 利用公式(3)代入得其通解 . 二、对于Bernoulli方程 . (4) 在(4)两端除以 ,得 . (5) 再令 , 则 ,代入(5)式得 . 这样,就将其化成以 为未知函数的方程. 例2 解方


 .
利用公式(3)代入得其通解
 
 .
二、对于Bernoulli方程
                           .                          (4)
在(4)两端除以 ,得
                             .                           (5)
再令
 ,
则 ,代入(5)式得
 .
这样,就将其化成以 为未知函数的方程.
例2 解方程
 .
解 这是一个Bernoulli方程,两边同乘 ,得
 .
令 ,代入有
 ,
这是一阶线性非齐次方程,利用(3)式得通解为
 .
于是,原方程的解为
 .
归纳总结:首先判断该方程是伯努力方程,然后化成(5)式,再令 ,则
 ,
这样原方程就变成关于 的一阶线性非齐次微分方程,最后利用一阶线性非齐次微分方程的方法求解.
三、对里卡蒂方程
                                              (6)
且  和 在区间 上是连续的.
若已知里卡蒂方程的一个特解,则可求它的通解.
首先已知或观察可知 是里卡蒂方程(6)的一个特解.令
   (其中 是新的未知函数).
代入方程(6)得到
                         (7)
又 是里卡蒂方程(6)的一个特解,所以
 
代入到(7)得
 

  ,( ).
这是一阶线性微分方程,我们可以求出它的通解 然后通过变换 以及 可得里卡蒂方程(6)的一个通解 . 特殊变系数微分方程的解法(2):http://www.youerw.com/shuxue/lunwen_69546.html
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