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浅析导数的应用(2)

时间:2020-08-26 15:36来源:毕业论文
定理2 设函数 在区间 上具有二阶导数,则在 上 下凸(上凸)函数的充要条件是 . 定义2 若函数 在点 的左右邻域上凹凸性相反,则点 叫做曲线的拐点. 例

    定理2  设函数 在区间 上具有二阶导数,则在 上 下凸(上凸)函数的充要条件是

             .

    定义2  若函数 在点 的左右邻域上凹凸性相反,则点 叫做曲线的拐点.

    例2  求函数 的凹凸区间及拐点.

    分析  熟悉函数的凹凸性判断定义及其定理,能正确应用其定理来解决简单的函数问题.

    解  因  ,令 ,得 .所以

当 时, ,又当 时, ;当 时, .

所以 的上凸区间为 ,下凸区间为 ,它的拐点为 .

    若函数在某点二阶导数为零,在其两侧二阶导数不变号,则函数的凹凸性不变;求函数的凹凸性,首先求函数的二阶导数,判断二阶导数是大于零还是小于零来判断函数的凹凸区间.

2.1.3  函数的极值和最值 

(1)用导数求函数的极值

    定义3  设函数 在点 及其某邻域左右两侧附近有定义,若对该邻域内的任意点 ( )恒有 ,则 为极大值;若 成立,则 为极小值.

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