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运用微积分理论证明不等式的方法(2)

时间:2020-07-17 21:07来源:毕业论文
存在,则称函数 在 可导,并称该极限为函数 在点 处的导数,记作 . 利用导数定义证明不等式的步骤: (1) 找出 ,使得 恰为结论中不等式的一边; (2)

存在,则称函数 在 可导,并称该极限为函数 在点 处的导数,记作 .

利用导数定义证明不等式的步骤:

(1) 找出 ,使得 恰为结论中不等式的一边;

(2) 联系已知条件并运用导数定义进行解答.

例1  设函数 ,其中 都为实数, 为正整数,已知对于一切实数 ,有 ,试证: .

证  因 ,则 .

得由于 ,所以 即 

适用范围:因为是利用定义,所以要仔细观察问题中条件与结论间的关系.当不等式符合导数定义,或可转化为导数定义的形式时,才能将导数定义法的优势发挥出来.

3.2  函数的单调性证明法

单调性是函数的重要特性,经常被应用到不等式证明当中,不同于导数定义法对定义的直接运用,单调性则是间接的运用导数证明不等式的.

定理1  设函数 在 上连续,在 内可导.

(1) 如果在 内 ,那么函数 在 上单调递增;

(2) 如果在 内 ,那么函数 在 上单调递减.

利用函数的单调性证明不等式的步骤:

(1)构造适当的辅助函数 .构造辅助函数方法一般是通过移项的方法,即把不等式的右端项移到另一边,使右边为零,则左边就是我们要求的函数;

(2)求在所给区间上 的一阶导数,判别一阶导数在此区间上的符号,或求出 在所给区间端点的值或极限,得出结论.

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