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向量法在高中数学中的应用(3)

时间:2020-01-12 12:04来源:毕业论文
德国数学家阿甘得(17771855)在1806年公布了虚数的图象表示法,即所有实数能用一条数轴表示,同样,虚数也能用一个平面上的点来表示。象这样,由各点

德国数学家阿甘得(1777—1855)在1806年公布了虚数的图象表示法,即所有实数能用一条数轴表示,同样,虚数也能用一个平面上的点来表示。象这样,由各点都对应复数的平面叫做“复平面”,后来又称“阿甘得平面”。高斯在1831年,用实数组( )代表复数 ,并建立了复数的某些运算,使得复数的某些运算也象实数一样地“代数化”。他又在1832年第一次提出了“复数”这个名词,还将表示平面上同一点的两种不同方法——直角坐标法和极坐标法加以综合。统一于表示同一复数的代数式和三角式两种形式中,并把数轴上的点与实数一一对应,扩展为平面上的点与复数一一对应。高斯不仅把复数看作平面上的点,而且还看作是一种向量,并利用复数与向量之间一一对应的关系,阐述了复数的几何加法与乘法。至此,复数理论才比较完整和系统地建立起来了。

1.2 定义

数集拓展到实数范围内,仍有些运算无法进行。比如判别式小于0的一元二次方程仍无解*优尔`文~论|文/网www.youerw.com,因此将数集再次扩充,达到复数范围。复数是指能写成如下形式的数 ,这里 和 是实数, 是虚数单位(即 )。 由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入,经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作,此概念逐渐为数学家所接受。 复数有多种表示法,诸如向量表示、三角表示,指数表示等。它满足四则运算等性质。另外,复数还指在英语中与单数相对,两个及两个以上的可数名词。

形如 的数称为复数( ),其中规定 为虚数单位,且 ( 是任意实数)

我们将复数 中的实数 称为复数 的实部( )记作 ,实数 称为复数 的虚部( )记作 。

已知:当 时, ,这时复数成为实数;当且仅当 时,它是实数0;当 且 时, ,我们就将其称为纯虚数。将复数的实部与虚部的平方和的正的平方根的值称为该复数的模,记作 。即对于复数 ,它的模 

复数的集合用C表示,实数的集合用R表示,显然,R是C的真子集。

1.3 复数如何运算

(1)复数的加减法是: 实部与实部相加减;虚部与虚部相加减

乘法:  

除法:先把分母化为实数,方法是比如分母为 ,就乘上它的共轭复数论文网  (同时分子也要乘上 分母最后化为 分子就变成乘法了设  则 的共轭为 , , 共轭就是复数的虚部系数符号取反,即表示为 。

(2)我就以 为例:  ,  ;然后, ,   , 以及,复数运算当中一些结论,像 ,这类的,或者提供一些公式。    

 (3)                       

复数域

复数可定义为实数 组成的有序对,而其相关之和及积为:

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