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一阶含参数自治微分方程解的存在性研究(3)

时间:2019-12-22 21:13来源:毕业论文
1.3预备知识及研究工具 1.3.1逐步逼近法 求初值问题(3.1)的解等价于积分方程 的连续解。 构造近似解函数列 任取一个连续函数 ,使得 ,对上述积分方程的

 

1.3预备知识及研究工具

1.3.1逐步逼近法 

    求初值问题(3.1)的解等价于积分方程               

的连续解。

    构造近似解函数列 

    任取一个连续函数 ,使得 ,对上述积分方程的右端替代 ,得到

                   

    如果 ,那么 是积分方程的解,否则,又用 替代积分方程右端的 ,得到

                    

如果 ,那么 是积分方程的解,否则,继续进行,得到

                                       (1)                       

于是得到函数序列 .

函数序列 在区间 上一致收敛于 ,即                        

存在,对(1)取极限,得到

                     即  .

4)  是积分方程 在 上的连续解.

这一步由一步一步找到方程的解的办法被称为逐步逼近法。

1.3.2存在唯一性定理

如果 在矩形域R上连续并且关于y满足Lipschitz条件,那么 

是方程 是唯一解,定义于区间 上,连续并且满足初始条件。 ,

这里 。

1.3.3单调序列原理

任何一个由上界的单调增加序列必收敛于一个极限(对于任何一个有下界的单调减少序列,类似的命题也成立)。

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