设 是关于整数 （ ）的命题，记  ，若

（ ）当 时， 成立;

（ ）假设当 （ ）时， 成立，能推出 成立，则 在 上成立。

证明  假设 不对所有 成立，设使 不成立的整数的集合为 ，知 ，则由整数的最小数原理知， 中必有最小数，设为 ，由（ ）知 ，所以， 。对于满足 的整数 ，有 成立。由（ ）知 成立，这与 是使 不成立的整数集合 中的最小数矛盾，假设不成立，即 在 上成立。文献综述

3。2  多项式理论

3。2。1  带余除法定理

设  ，  ， ，则存在 ，  ，使得 ，

其中 或者  。

证明  当 时，结论显然是成立的。

当 不整除 时，则对   ， ，即 ，设次数的集合为