数形结合思想在解题中的应用+文献综述+毕业论文 第4页
图示法是集合的重要表示法之一，对一些比较抽象的集合问题，在解题时若借助韦恩图或用数轴、图象等数形结合的思想方法，往往可以使问题直观化、形象化，从而灵活、直观、简捷、准确地获解。
例 : 某校由 学优^文-论~文.网
http://www.youerw.com 参加的球类运动队中，喜欢打篮球的有 ，欢打排球的有 ，欢踢足球的有 .既喜欢打篮球又喜欢打排球的有 既喜欢打排球又喜欢踢足球的有 ，即欢踢足球又喜欢打篮球的有 问同时喜欢这三类球的有多少人？（图 ）
分析：如上图所示，同时喜欢三类球的有x人（阴影部分），喜欢打篮球的有： 人，只喜欢打排球的有： 人，只喜欢踢足球的有： 人，根据题意，得：
解之
故同时喜欢这三类球的有 人。
2.2 以形助数解决取值范围问题
例 :若集合 集合 且 则 的取值范围为多少？ （图 ）
分析： 显然 表示 为圆心以 为半径的圆在 轴上方的部分，（如图 ）， 表一条直线，其斜率 ，纵截距为 ，由图形容易知道，欲使得
，即是使直线 与半圆有公共点，显然 的最小逼近值为 ，最大值为 ，即 。
例 ：若二次函数 的图象过原点, 且
求 的取值范围。
（图 ）
解: ∵ 的图象过原点,
∴设 （a ≠0）
∴ 得线性约束条件，
其可行域(如图3) 所示:
∴ 取目标函数 由图可知；
当直线L: 过点 时,
当直线L 过点 时, 所以 。
点评:对于某些与函数有关问题,若善于利用已知条件构造线性约束条件,将问题转化为线性规划问题求解,有时能起到事半功倍的效果。
2.3 以形助数解决解含参数问题
例 :如图2 ,抛物线 与 轴交于 、 两点, 点在 点的在侧,与 轴交于 点,且 ,求 的值。张握共
分析: 此题单从字面上看,枯燥无味,会束手无策,但若根据题意画出图形,再根据抛物线与两坐标,轴的交点的基本概念,就可以分析得出 、 、 三点的坐标,也就是从分析:此例通过数形结合,准确地找到解决问题的途径,揭示其解题规律,此例题思路基本是待定系数法,但它们都不用直接求 、 、 的值,而是通过一定的解题技巧求出所需要的特殊值。图形上直观地看出条件 的具体关系式,最终达到目的。
(图 )解:如图 所示: ∵抛物线 与y 轴的交点 的坐标为 又∵ ,且抛物线与 轴交于 、 两点。∴其坐标分别为 、 ,而抛物线 的图象过 、 、 三点,
即所求 值为 。
2.4 以形助数解决不等式问题
例 :解不等式 优^文-论~文.网
http://www.youerw.com 常规解法：
原不等式等价于
解 ，得 ；解 ，得
综上可知，原不等式得解集为
数形结合解法：
令 ，则不等式 得解，就是使 的图像在 的上方的那段对应的横坐标，如下图，不等式的解集为 。
（图 ）
而 可由 ，解得， ，由 得定义域 ，可知 ，
故不等式的解集为 。
说明：这是一个代数问题，若依常规解法即要考虑x>0的情况，又要考虑x<0的情况，缺一不可；而运用数形结合的方法，只需设两个函数，再结合其图象，答案一目了然，从而使问题直观化，得到解决。
2.5 以形助数求函数极值
例 ：求函数 的最小值。（图 ）
分析: 对于无理函数式, 直接求解, 计算不胜其烦。若从函数表达式建立“距离模型”问题变的就明朗化。
即 表示 轴上一动点 到两个定点 、 的距离之和。由求函数式的最小值变为求动折线 的最小值, 在 中, 当且仅当 、 、 三点共线时取等号。
∴
2.6 以形助数在解析几何中的应用
在解析几何中，有些问题仅从曲线方程入手，计算冗长，很难转化为一般化的数学语言，若回归到曲线的几何意义，从图形方面着手，问题往往就能迎刃而解。
例 ：求椭圆 上的点到直线L： 的最短距离 。
分析：首先假设直线 与椭圆 只有一个交点，（图 ）解方程组：
可得 ，则椭圆上点到直线的最短距离转化为两平行直线和之间的距离，即 。
2.7借助于复平面上的点解决复数问题
例 :已知复数 满足 ,求 的最值。 （图 ）
解：如图，设 ，由 知 在以 为圆心 为半径的圆周上，连接 并延长交圆于 、 两点，从而 ， 。
3.以数辅形,几何问题代数化
数学的发展使许多几何问题不再是单纯的图形研究，人们在透过形的外表，触及其内在的数量特征，探索由图形到数量的联系与规律，即“以数辅形”就是将图形信息转化为代数信息，使要解决的几何问题化为数量关系来实现数形转化。
3.1用代数方法解决平面几何问题
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